LUMIX DMC-FX01は、ピントはAFのみ、露出は色々シーンモードはありますがプログラムAEのみ、光学ファインダーは無く液晶モニタのみ。
動体撮りや流し撮りには、一番向かないタイプのカメラです。 
ピントはAFしか選択肢がないのでAF、問題はシャッタースピードです。
犬の流し撮りに有効なシャッタースピードは、1/125s前後。
シャッタースピード優先や、マニュアル露出が無いLUMIX DMC-FX01には難しい問題です・・ 
シャッタースピードの調節は、ISO感度や外の明るさで調節するしかないです。
晴れた昼間は絶対にダメ、朝か夕方だとシャッタースピードがちょうど良い時間帯があります。
あと、曇りの日も良いかもしれません。
次の難題は、光学ファインダーが無いこと・・ 
液晶モニタじゃ動体は追えない。 ほとんどカン、ノーファインダーに近い撮り方をしてました。
小さくてもいいが、やっぱり光学ファインダーは必要ですよ。
今どきのコンパクトデジカメは、液晶モニタだけって機種がほとんどですね・・
あとは、手ぶれ補正をOFFにすれば、なんとか犬の流し撮りも撮れます。
しかし、歩留りは悪いです、30枚撮って1枚成功なら良いほうなくらい悪い。